A teoria de elasticidade linear clássica prediz auto-intersecção em vizinhanças de pontos interiores de sólidos anisotrópicos, em pontas de trincas e em cantos. Esse comportamento fisicamente inadmissível é caracterizado pela violação da restrição de injetividade local J > 0, em que J é o determinante do gradiente de deformação. Uma forma de impor essa condição consiste em minimizar o potencial total de energia de um sólido elástico sujeito à restrição J ≥ ε > 0, em que ε é um parâmetro pequeno e positivo. No contexto da teoria de elasticidade linear clássica, essa abordagem foi utilizada para eliminar com sucesso a auto-intersecção. Essa teoria linear com restrição resulta em deformações elevadas o que contradiz a hipótese básica de deformações infinitesimais da teoria linear clássica. Neste trabalho, apresentamos uma teoria de minimização com restrição para sólidos hiperelásticos sujeitos a deformações finitas e obtemos condições necessárias para que um campo de deformação seja um minimizador. Aplicamos essa formulação na análise do equilíbrio de um disco anelar feito de um material de St Venant-Kirchhoff ortotrópico. Esse material corresponde a uma extensão natural de um material elástico linear. A superfície interna do disco está fixa e a externa está comprimida por uma pressão uniforme. A análise de equilíbrio de um disco sólido é obtida no caso limite do raio interno tendendo a zero. O problema do disco é formulado como um problema de valor de contorno (PVC do disco) e um problema de minimização (PM do disco). Esses problemas são resolvidos no contexto da teoria de elasticidade não linear clássica, em que J > 0 não é imposto, e da teoria não linear com restrição, em que J > 0 é imposto. No contexto da elasticidade não linear clássica, determinamos uma pressão crítica p ̄, que tende a zero à medida que o raio interno tende a zero, acima do qual as soluções de ambos os problemas se tornam não suaves e predizem J ≤ 0. p ̄ é menor que seu valor correspondente predito pela elasticidade linear clássica e, portanto, é um limite superior abaixo do qual a teoria linear é válida. No contexto da teoria não linear com restrição, as soluções do PVC e do PM do disco estão de muito bom acordo e satisfazem todas as condições necessárias para mínimo, incluindo a condição de injetividade local. Por fim, esses resultados também estão de muito bom acordo com resultados análogos obtidos no contexto da teoria de elasticidade não linear clássica para um disco feito de um material de Mooney-Rivlin compressível e ortotrópico; em particular, quando o parâmetro ε tende a zero.

The classical linear elasticity theory predicts self-intersection in the neighborhood of interior points of anisotropic solids, crack tips, and corners. This physically unrealistic behavior is characterized by the violation of the local injectivity condition J > 0, where J is the determinant of the deformation gradient. One way to impose this condition consists of minimizing the total potential energy of an elastic solid subjected to the constraint J ≥ ε > 0, where ε is a small positive parameter. In the context of the classical linear elasticity theory, this approach was successfully used to eliminate the anomalous self-intersecting behavior. The resulting constrained linear theory gives rise to large deformations inside the solid, which is in contradiction to the basic assumption of infinitesimal strains of the classical linear theory. In this work, we present a constrained minimization theory for hyperelastic solids undergoing finite deformations and derive necessary conditions for a deformation field to be a minimizer. We then apply this formulation in the analysis of equilibrium of an annular disk made of an orthotropic St Venant-Kirchhoff material. This material is a natural constitutive extension of its classical linear counterpart. The disk is fixed on its inner surface and compressed by a constant pressure on its outer surface. The analysis of equilibrium of a solid disk is obtained by letting the inner radius tend to zero. The disk problem is formulated as both a boundary value problem (disk BVP) and a minimization problem (disk MP), and these problems are solved in the context of both the classical nonlinear theory, for which the condition J > 0 is not imposed, and the constrained nonlinear theory, for which J > 0 is imposed. In the context of the classical nonlinear theory, we find that there is a critical pressure p ̄, which tends to zero as the inner radius of the disk tends to zero, above which a solution of either problem becomes non-smooth and predicts J ≤ 0. In addition, p ̄ is smaller than its counterpart from the classical linear theory and, therefore, serves as an upper bound below which this linear theory is valid. In the context of the constrained nonlinear theory, the solutions of both the disk BVP and MP agree very well and satisfy all the necessary conditions for a minimizer, including the injectivity condition. Finally, these results are also in very good agreement with their counterpart obtained in the context of the classical nonlinear elasticity for a disk made of an orthotropic and compressible Mooney-Rivlin material; in particular, when the parameter ε tends to zero.