A demanda por simulações numéricas de problemas de dinâmica dos sólidos e das estruturas se faz presente em diversas áreas da engenharia, exigindo o desenvolvimento contínuo de métodos que sejam mais precisos e aplicáveis a uma maior gama de problemas, ao mesmo tempo em que sejam computacionalmente mais eficientes. Essa demanda torna-se mais relevante quando trata-se de problemas com grandes deslocamentos, demandando uma análise geometricamente não linear. Nesse contexto, este trabalho trata do desenvolvimento e a implementação de uma formulação do método dos elementos finitos espaço-tempo, baseada em posições, para a solução de problemas de elasticidade bidimensional em regime de grandes deslocamentos e em situação de contato. Diferentemente dos métodos tradicionais de marcha no tempo, que são combinados com o método dos elementos finitos aplicado apenas à discretização espacial, a formulação espaço-tempo trata o problema dinâmico incorporando o tempo como uma dimensão do seu espaço finito de funções, e portanto, o tempo também é discretizado pela técnica de elementos finitos. A malha espaço-tempo empregada neste trabalho é do tipo estruturada na direção do tempo, possibilitando a divisão do domínio espaço-tempo em placas espaço-tempo, propagando as informações no sentido do eixo temporal. Os elementos finitos adotados são prismáticos de base triangular correspondente à discretização espacial e altura correspondente à discretização temporal, sendo as funções de forma espaço-tempo dadas pelo produto das funções de forma do tipo polinômios de Lagrange adotadas para os elementos triangulares de discretização espacial, com funções de forma baseadas em polinômios de Hermite, definidas ao longo da altura do prisma, para a discretização temporal. Isso permite a imposição direta das velocidades iniciais de forma forte, e, aliado à discretização em placas espaço-tempo, permite a solução sequencial das placas, impondo-se os resultados finais da placa anterior como condições iniciais para a placa atual, o que limita o tamanho do sistema a ser resolvido aos graus de liberdade atuais de uma placa espaço-tempo, a saber, posição atual e velocidade atual de cada nó. Diferentes formas de se considerar as funções teste conduzem a integradores temporais com diferentes características. Com base em referências bibliográficas, são testados diversos integradores para a solução de um sistema massa-mola de um grau de liberdade, sendo que dois integradores incondicionalmente estáveis são selecionados e aplicados para a solução do problema de elastodinâmica bidimensional com grandes deslocamentos. Através da simulação de exemplos selecionados, e da comparação com soluções obtidas pelos métodos de Newmark e ?-generalizado, demonstra-se a robustez da formulação proposta, bem como sua precisão, que alcança quarta ordem.

The demand for numerical simulations of solids and structures dynamics problems is present in several areas of engineering, and even though computational solids and structures dynamics has acchieved maturity, there is a continuous demand for more accurate methods, applicable to a wider range of problems, and at same time, computationally more efficient and faster. This demand becomes more relevant when dealing with large displacement problems, requiring geometrically non-linear analysis. In this context, this work presents the development and implementation of a formulation of the space-time finite element method, based on positions, for the solution of two-dimensional elasticity problems with large displacements and in contact situation. Unlike the traditional time marching methods, which are combined to the finite element method applied only to spatial discretization, the space-time formulation deals with the dynamic problem by incorporating time as a dimension of the finite space of functions, and therefore, time is also discretized by the finite element technique. The space-time mesh used in this work is structured in time direction, allowing the division of the space-time domain into space-time slabs, propagating the information in the direction of the temporal axis. The adopted finite elements are prismatic with a triangular base corresponding to the spatial discretization and height corresponding to the temporal discretization, so that the space-time shape functions are given by the product of the Lagrange polynomial shape functions adopted for the triangular elements of spatial discretization, with Hermite polynomials based shape functions defined along the height of the prism, for time discretization. This allows the direct imposition of the initial velocities in a strong way, and, together with the discretization in space-time slabs, allows the sequential solution of the slabs, imposing the final results of the previous one as initial conditions for the current one, limiting the size of the system to be solved to the current degrees of freedom of a space-time slab, namely, current position and current velocity of each node. Different ways of considering the test functions lead to temporal integrators with different numerical characteristics. Based on bibliographical references, several integrators are tested for the solution of a mass-spring system with one degree of freedom, two unconditionally stable integrators are selected and applied for the solution of the two-dimensional large displacement elastodynamic problem. Through the simulation of selected examples, and the comparison with solutions from Newmark and generalized-? methods, the robustness of the proposed formulation is demonstrated, as well as its accuracy, that reaches fourth-order.