Materiais arquitetados com vazios incluem estruturas celulares e treliçadas, bem como metamateriais mecânicos exóticos com propriedades inovadoras, permitindo o desenvolvimento de estruturas leves para aplicações específicas e multifuncionais em engenharia. O comportamento mecânico desses materiais artificiais pode ser desafiador devido às suas propriedades intrigantes e à existência de efeitos de ordem superior que não podem ser adequadamente previstos pela mecânica do contínuo clássica, abrangendo localização de deformações, efeitos de tamanho e modos de deformação complexos. Além disso, o design de geometrias para programar as propriedades do material em múltiplas escalas frequentemente gera morfologias complexas, tornando as estruturas arquitetadas difíceis de fabricar com métodos convencionais de manufatura. Neste contexto, a presente contribuição combina formulação conceitual, simulações numéricas e uma abordagem experimental (usando manufatura aditiva) para a investigação multi-escala de estruturas arquitetadas. Uma nova formulação de homogeneização computacional de segunda ordem e sua implementação numérica são propostas para investigar materiais naturais e arquitetados na presença de vazios. A macro-escala é descrita por uma teoria contínua do segundo gradiente no regime de deformações finitas, e a micro-escala é modelada pelo conceito de Elemento de Volume Representativo (EVR) usando a mecânica clássica de Cauchy. O Método da Potência Virtual Multi-escala é empregado para vincular as duas escalas, garantindo uma transição de escala variacionalmente consistente. Na formulação desenvolvida, as quantidades cinemáticas são definidas apenas no domínio sólido do EVR e uma nova relação de homogeneização é postulada para o gradiente de segunda ordem, permitindo consideração de vazios no domínio do EVR e sua fronteira externa. As restrições cinemáticas são impostas no EVR pelo método dos multiplicadores de Lagrange e particularizadas para condições mínimas (limite inferior), periódica e direta (limite superior). Demonstra-se que os tensores de tensão macroscópicos homogenizados podem ser expressos em termos dos multiplicadores de Lagrange. O método dos elementos finitos é adotado para obter soluções aproximadas correspondentes aos estados de equilíbrio micro e macro. O método de Newton-Raphson é empregado para resolver os sistemas de equações não lineares que descrevem o equilíbrio em ambas as escalas As tangentes macroscópicas consistentes necessárias para as simulações multi-escala acopladas são derivadas. A aplicabilidade e a precisão da estratégia computacional de segunda ordem são avaliadas em vários exemplos numéricos cuidadosamente escolhidos de sólidos porosos e materiais arquitetados, considerando simulações bidimensionais e tridimensionais. Exemplos numéricos em microescala são apresentados para mostrar os modos de deformação que podem ser capturados pela abordagem computacional de segunda ordem. Simulações multi-escala acopladas são realizadas para demonstrar a robustez e a capacidade preditiva da abordagem de homogeneização computacional de segunda ordem para modelar estruturas arquitetadas de paredes finas, abrangendo exemplos numéricos de materiais celulares e de treliçados bem como metamateriais com modos de deformação de segunda ordem, mecanismos de deformação acoplados e efeitos de tamanho. Quanto à abordagem experimental, estruturas arquitetadas poliméricas são fabricadas utilizando a tecnologia de manufatura aditiva (conhecida como impressão 3D) e submetidas a testes mecânicos. Em particular, um novo metamaterial mecânico exibindo ondulação induzida por tensão e estruturas celulares sob flexão com efeitos de tamanho são impressos em 3D utilizando Modelagem por Deposição Fundida com um termoplástico amorfo comercialmente disponível. Os dados experimentais dos testes mecânicos são comparados com os resultados numéricos de diferentes opções de modelagem computacional, incluindo análises multi-escala acopladas e modelos de escala única na macro-escala. Por fim, as vantagens e desafios de integrar a impressão 3D com diferentes estratégias de modelagem numérica são discutidos em direção ao design e fabricação de materiais poliméricos arquitetados com geometrias complexas e comportamento mecânico intricado.

Architected materials with voids include cellular and lattice structures, as well as exotic mechanical metamaterials with innovative properties, enabling the development of lightweight structures for specific and multifunctional engineering applications. The mechanical behaviour of these artificial materials can be challenging due to their intriguing properties and the presence of higher-order effects that often can not be adequately predicted by Cauchy continuum mechanics, encompassing strain localisation, size effects, and complex deformation modes. Moreover, the design of geometries to program material properties across multiple scales often leads to complex morphologies, making architected materials difficult to fabricate using conventional manufacturing methods. In this context, the present contribution combines conceptual formulation, numerical simulations, and an experimental approach (using additive manufacturing) for the multi-scale investigation of architected structures. A new second-order computational homogenisation formulation and its numerical implementation are proposed for investigating natural and architected materials in the presence of voids. The macro-scale is described by a second gradient continuum theory in the finite strain regime, and the micro-scale is modelled by the concept of Representative Volume Element (RVE) within the Cauchy continuum mechanics. The Method of Multi-scale Virtual Power is employed to link the two scales, ensuring a variationally consistent scale transition. In the developed formulation, the kinematical quantities are defined only in the solid domain of the RVE, and a new homogenisation relation is postulated for the second-order gradient, allowing for the consideration of voids in the RVE domain and its outer boundary. The kinematic constraints are imposed on the RVE by the Lagrange multiplier method and particularised for minimal (lower bound), periodic and direct (upper bound) conditions. It is demonstrated that the homogenised macroscopic stress tensors can be expressed in terms of the Lagrange multipliers. The finite element method is adopted to obtain approximate solutions corresponding to micro and macro equilibrium states. The Newton–Raphson method is employed to solve the non-linear systems of equations that describe equilibrium at both scales The consistent macroscopic tangents required for coupled multi-scale simulations are derived. The applicability and accuracy of the second-order computational strategy is assessed in several carefully chosen numerical examples of porous solids and architected materials accounting for two and three-dimensional simulations. Micro-scale numerical examples are presented to show deformation modes that can be captured by the second-order computational ap- proach. Coupled multi-scale simulations are performed to demonstrate the robustness and predictive capacity of the second-order computational homogenisation approach for modelling thin-walled architected structures, encompassing numerical examples of cellular and lattice materials as well as metamaterials with second-order deformation modes, coupling deformation mechanisms and size effects. Regarding the experimental approach, polymeric architected structures are fabricated using additive manufacturing technology (known as 3D printing) and subjected to mechanical testing. In particular, a novel mechanical metamaterial exhibiting tension-induced undulation and cellular beams under bending with size effects are 3D-printed using Fused Deposition Modelling with a commercially available amorphous thermoplastic. The experimental data from mechanical tests are compared with numerical results from different computational modelling options, including coupled multi-scale analyses and single-scale models at the macro-scale. Finally, the advantages and challenges of integrating 3D printing with different numerical modelling strategies are discussed towards the design and fabrication of architected polymeric materials with complex geometries and intricate mechanical behaviour.