O Método dos Elementos Finitos Generalizados (MEFG) é uma metodologia eficaz e precisa para a solução de problemas considerados desafiadores para o Método dos Elementos Finitos (MEF), fornecendo soluções com taxas ótimas de convergência na norma energia e matrizes globais com número de condição apresentando taxa de grandeza equivalente ao MEF. Tais características também são obtidas para problemas da Mecânica da Fratura Elástica Linear (MFEL), cujas soluções apresentam singularidades e descontinuidades. Todavia, apesar de suas boas propriedades aproximativas, trabalhos têm recentemente mostrado que o MEFG de primeira ordem não é competitivo em relação ao MEF de segunda ordem que utiliza elementos finitos especiais próximos à frente da fissura. Consequentemente, formulações do MEFG de segunda ordem com convergência ótima vêm sendo propostas na literatura e uma nova classe para tais formulações, construída especialmente para problemas tridimensionais (3-D) da MFEL, é proposta nesta tese. A formulação aqui apresentada aumenta espaços de aproximação lagrangianos de segunda ordem com o intuito de inserir neles os comportamentos descontínuo e singular que existem em problemas da MFEL. Para esses problemas, além do uso de funções de enriquecimento singulares, refinamento local da malha ao redor da frente da fissura faz-se necessário para que taxas ótimas de convergência sejam obtidas. Acerca disso, apesar do refinamento de malha ser realizado de modo muito mais robusto no contexto do MEFG se comparado com o MEF, por exemplo, o nível exigido de refinamento para problemas 3-D da MFEL é difícil de ser definido sem informações relativas à solução do problema em questão. Neste trabalho, espera-se que o uso de estimadores de erro a posteriori e de estratégias adaptativas para refinamento de malha seja capaz de resolver tal problema. Para tanto, um estimador de erro a posteriori do tipo Zienkiewicz e Zhu bloco-diagonal (ZZ-BD), baseado em recuperação, é expandido com o intuito de estimar erros de discretização presentes em problemas 3-D da MFEL resolvidos a partir de formulações de segunda ordem do MEFG. O procedimento de recuperação associado ao estimador de erro utiliza projeções L2 do campo de tensões sobre um espaço de aproximação que inclui campos singulares e descontínuos de alta ordem. Por fim, as formulações de segunda ordem do MEFG e o estimador de erro associado a elas são combinados visando gerar procedimentos adaptativos. Neste estágio, o foco é a proposição de procedimentos robustos e confiáveis que sejam capazes de gerar, automaticamente, soluções para problemas da MFEL que atendam às tolerâncias pré-especificadas sobre o erro de discretização, com taxas ótimas de convergência. Os exemplos numéricos apresentados nesta tese mostram que as formulações do MEFG propostas convergem segundo a taxa esperada e são bem condicionadas. Ainda, mostra-se que o estimador de erro proposto é capaz de prover boas aproximações para a norma energia do erro de discretização. Ademais, tem-se como resultados que o algoritmo para refinamento adaptativo de malha recupera taxas ótimas de convergência para o MEFG de segunda ordem e provê, a partir de poucos passos de análise e, portanto, com custo computacional controlado, soluções que atendem às tolerâncias pré-definidas.

The Generalized/eXtended Finite Element Method (G/XFEM) is an efficient and accurate methodology able to solve problems that are challenging for standard Finite Element Methods. The G/XFEM can provide solutions with optimal convergence rates in the energy norm and global matrices with scaled condition numbers that grow at the same rate as in the Finite Element Method (FEM). This is the case even for Linear Elastic Fracture Mechanics (LEFM) problems which have solutions containing singularities and discontinuities. However, although presenting good approximation properties, it has been shown that first-order G/XFEM is not competitive with second-order FEM that uses quarter-point elements. For this reason, optimally convergent second-order G/XFEM has been recently proposed in the literature, and a new class for this type of formulation, tailored to solve three-dimensional (3-D) LEFM problems, is also proposed in this thesis. In summary, the formulation proposed herein augments standard second-order Lagrangian FEM approximation spaces in order to insert into them the discontinuous and singular behaviors presented in 3-D LEFM problems. Regarding this class of problems, it is noted that in addition to using singular enrichment functions, local mesh refinement around crack fronts is still needed to achieve optimal convergence rates. This is particularly the case for 3-D problems that violate the assumptions of the adopted singular enrichments. Even though mesh refinement is much more robust in the G/XFEM than in the FEM, the level of refinement for complicated 3-D LEFM problems is difficult to define a priori, i.e., without any information about the problem solution. In this work, a posteriori error estimators and adaptive mesh refinement strategies are developed to address this issue and this also consists of a contribution from this research. In the attempt to do so, a recently proposed Zienkiewicz and Zhu block-diagonal (ZZ-BD) recoverybased a posteriori error estimator is first expanded in order to also estimate discretization errors of 3-D LEFM problems that are solved by second-order G/XFEM formulations. The associated recovery procedure proposed herein involves locally weighted L2 projections of raw stresses onto an approximation space including high-order discontinuous and singular stress fields. The basis functions for these stress approximations are defined using a low-order partition of unity together with polynomial, low- and high-order discontinuous, and singular recovery enrichment functions. Finally, second-order G/XFEM formulations and ZZ-BD error estimators are combined to derive adaptive algorithms. In this part of the work, the focus is the proposition of robust and reliable procedures able to deliver on the fly accurate solutions for LEFM problems that meet pre-specified discretization error targets with minimal user intervention and optimal convergence rates. Numerical experiments throughout this thesis show that the proposed secondorder G/XFEM converges at the expected rate and is well-conditioned, and that the associated ZZ-BD error estimator provides good approximations to the energy norm of the discretization error. They also show that the proposed adaptive mesh refinement algorithm can recover optimal convergence rates for second-order 3-D G/XFEM approximations and can deliver, with very few steps and therefore controlled computational cost, solutions meeting selected tolerances on the discretization error.